ประวัติความเป็นมา…
ทฤษฎีกราฟ
ประวัติความเป็นมา
ทฤษฎีกราฟนั้น มีจุดเริ่มจากผลงานตีพิมพ์ของ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ภายใต้ชื่อ Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis ในปี ค.ศ. 1736 (พ.ศ. 2279) หรือที่รู้จักกันในนาม ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองโคนิกส์เบิร์ก (Seven Bridges of Königsberg) เขาสนใจวิธีที่จะข้ามสะพานทั้ง 7 แห่งนี้ โดยข้ามแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ผลงานนี้ยังถือว่าเป็นงานแนวทอพอโลยีชิ้นแรกในเรขาคณิต กล่าวคือเป็นงานที่สนใจเฉพาะโครงสร้างของรูปเรขาคณิตที่ไม่ขึ้นกับขนาด ระยะ หรือการวัดใดๆ งานชิ้นสำคัญนี้ยังได้แสดงความเกี่ยวข้องอย่างลึกซึ้งระหว่างทฤษฎีกราฟและทอ พอโลยี ดังรูป
ในปี ค.ศ. 1845 (พ.ศ. 2388) กุสตาฟ คีร์คฮอฟฟ์ ได้เผยแพร่ผลงานที่รู้จักกันภายใต้ชื่อกฎวงจรไฟฟ้าของคีร์คฮอฟฟ์ ที่แสดงความสัมพันธ์ของกระแสและความต่างศักย์ บนกราฟที่แทนวงจรไฟฟ้า
ต่อมาในปี ค.ศ. 1852 (พ.ศ. 2395) ฟรานซิส กัทธรี ได้ตั้งปัญหาสี่สี (Four color problem) เพื่อศึกษาถึงความเป็นไปได้ที่จะใช้สีเพียง 4 สี เพื่อระบายให้กับประเทศต่าง ๆ บนแผนที่ใด ๆ โดยที่ประเทศเพื่อนบ้านจะไม่มีสีเดียวกัน. ปัญหานี้ได้ถูกแก้ในอีกมากกว่า 100 ปีถัดมา ในปี ค.ศ. 1976 (พ.ศ. 2519) โดย เคนเนธ แอปเพล และวูล์ฟกัง ฮาเคน ซึ่งใช้คอมพิวเตอร์เข้าช่วยในการพิสูจน์ ซึ่งทำให้ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์อย่างกว้างขวาง. อย่างไรก็ตามจากความพยายามในการแก้ปัญหา 4 สีนี้ ทำให้มีการสร้างแนวคิดและนิยามพื้นฐานในทฤษฎีกราฟขึ้นอย่างมากมาย จนอาจจะกล่าวได้ว่าจุดเริ่มต้นของทฤษฎีกราฟเกิดจากปัญหาสี่สีนี้เอง
กราฟมักถูกนำเสนอในลักษณะของรูปภาพ โดยใช้จุดแทนจุดยอดแต่ละจุด และลากเส้นระหว่างจุดยอดถ้าจุดยอดทั้งสองนั้นมีเส้นเชื่อมถึงกัน ถ้ากราฟมีทิศทาง ทิศทางของเส้นเชื่อมจะถูกระบุโดยใช้ลูกศร
เราไม่ควรจะสับสนระหว่างกราฟที่วาดออกมากับกราฟ (ที่เป็นโครงสร้างนามธรรม) เนื่องจากกราฟหนึ่ง ๆ สามารถเขียนออกมาได้หลายแบบ และสาระหลักของกราฟนั้นมีแค่ว่าจุดยอดใด เชื่อมต่อกับจุดยอดใด ด้วยเส้นเชื่อมกี่เส้น ไม่ใช่วิธีการที่วาดมันออกมา ในทางปฏิบัติแล้ว การจะตัดสินว่ากราฟที่วาดออกมาสองกราฟนั้น มาจากกราฟเดียวกัน ในบางกรณี การวาดกราฟบางแบบอาจมีความเหมาะสมและทำให้เข้าใจได้ง่ายกว่าแบบอื่น
โครงสร้างข้อมูลกราฟ
มีหลายวิธีในการจัดเก็บกราฟในระบบคอมพิวเตอร์ โดยโครงสร้างข้อมูลที่ใช้ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของกราฟ และขั้นตอนวิธีสำหรับ ประมวลผลกราฟนั้น ในทางทฤษฎีเราอาจแยกแยะโครงสร้างที่เป็นแบบรายการกับที่เป็นเมทริกซ์ได้ แต่ในทางปฏิบัติมักพบว่าโครงสร้างที่ดีมักเป็นลูกผสมของโครงสร้างทั้งสองแบบ โครงสร้างแบบรายการนั้นมักใช้ในกรณีของกราฟเบาบาง (sparse graph) เนื่องจากมีการใช้หน่วยความจำที่น้อยกว่า ในทางกลับกันโครงสร้างแบบเมทริกซ์นั้น มีการเข้าถึงที่รวดเร็วกว่า แต่ก็ใช้หน่วยความจำขนาดใหญ่ถ้าจำนวนจุดยอดของกราฟมีมาก
ชาวเมืองเคอนิกส์เบิร์กพยายามหาวิธีเดินข้ามสะพานให้ครบทุกสะพาน โดยที่ข้ามสะพานแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวและกลับมาที่จุดยอดเริ่มต้น เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แปลงปัญหานี้ให้อยู่ในรูปกราฟ โดยให้อาณาบริเวณ A, B, C, D แทนด้วยจุดยอดของกราฟ และสะพานแต่ละพานแทนด้วยเส้นเชื่อมของกราฟ
ชาวเมืองเคอนิกส์เบิร์กพยายามหาวิธีเดินข้ามสะพานให้ครบทุกสะพาน โดยที่ข้ามสะพานแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวและกลับมาที่จุดยอดเริ่มต้นเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แปลงปัญหานี้ให้อยู่ในรูปกราฟ โดยให้อาณาบริเวณ A, B, C, D แทนด้วยจุดยอดของกราฟ และสะพานแต่ละพานแทนด้วยเส้นเชื่อมของกราฟ
จากกราฟ สามารถแปลงได้เป็นปัญหาการลากผ่านเส้นเชื่อมของกราฟดังรูปข้างต้น จนครบทุกเส้นโดยไม่ต้องยกปากกาและผ่านเส้นแต่ละเส้นเพียงครั้งเดียวโดยที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นจุดเดียวกัน
บทนิยาม
วงจรออยเลอร์(Euler trail) คือ รอยเดินซึ่งผ่านจุดยอดทุกจุดและเส้นเชื่อมทุกเส้นของกราฟ
ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ให้เงื่อนไขว่า กราฟที่กำหนดให้เป็นกราฟออยเลอร์เมื่อไร
ทฤษฎีบท
ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง จะได้ว่า
G เป็นกราฟออยเลอร์ ก็ต่อเมื่อ จุดยอดทุกจุดของ G มีดีกรีเป็นจำนวนคู่
กราฟที่มีวงจรออยเลอร์ เรียกว่า กราฟออยเลอร์ (Eulerian graph)
ตัวอย่าง กราฟต่อไปนี้เป็นกราฟออยเลอร์
บทนิยาม
รอยเดินออยเลอร์(Euler circuit) คือ วงจรที่ผ่านจุดยอดทุกจุดและเส้นเชื่อมทุกเส้นของกราฟ
ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ให้เงื่อนไขว่า กราฟที่กำหนดให้มีรอยเดินออยเลอร์เมื่อไร
ทฤษฎีบท
ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง จะได้ว่า G เป็นกราฟที่มีรอยเดินออยเลอร์ ก็ต่อเมื่อ G มีจุดยอดที่เป็นดีกรีเป็น
จำนวนคี่ไม่เกิน 2 จุด ยิ่งไปกว่านั้นจุดยอดที่เป็นจำนวนคี่เหล่านั้นจะเป็นจุดเริ่มต้นและจุดปลายของรอยเดินออยเลอร์
ปัญหาหนี่งที่ดูคล้ายกับปัญหาวงจรออยเลอร์ คือปัญหาการหาวิถีในกราฟที่ไม่ใช้จุดยอดซ้ำกันยกเว้นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดต้องเป็นจุดเดียวกัน ซึ่งก็คือ วัฎจักรและวัฎจักรนี้ผ่านครบทุกจุดยอดในกราฟนี้ จะเรียกวัฎจักรนี้ว่า วัฎจักรแฮมิลตัน ถ้า G มีวัฎจักรแฮมิลตัน จะเรียก G ว่าเป็นกราฟแฮมิลตัน(Hamiltonian graph)
ที่มาเนื้อหา
[ http://basicgraphtheory.blogspot.com/
[ http://mathematics-pr.blogspot.com/p/blog-page_4945.html ]
[http://th.wikipedia.org/wiki/ทฤษฎีกราฟ ]
[https://sites.google.com/site/graphmath101/6-kraf-xxy-lex-r ]